История числа "пи" - P

Элементарная и высшая
Ответить
Аватара пользователя
Сингуляронавт
Сообщения: 1351
Зарегистрирован: Вс мар 02, 2008 11:52 pm

История числа "пи" - P

Сообщение Сингуляронавт » Пн июн 27, 2011 7:18 pm

История числа p, выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)^2 (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. p = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число p в то время принимали равным Изображение, что даёт дробь 3,162...
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Изображение

Архимед в III в. до н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошёл до многоугольника, имеющего 3*2^28 углов. Ал-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в астрономии.

Изображение

Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что p можно отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом p английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое У.Джонсоном обозначение стало обшеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что число p иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только циркуля и линейки построить отрезок, равный по длине окружности, н е в о з м о ж н о, а следовательно, не существует решения задачи о квадратуре круга.
Поиски точного выражения p продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (1540-1610) (некоторое историки его называют Л.ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674 г. ряд

1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p/4,

который дал возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед. Всё же указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд, получаемый от разложения arctgx при значении x=1/Изображение , при котором разложение функции arctg 1/Изображение=p/6 в ряд даёт равенство:

p/6 = 1/Изображение[1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)^2 - 1/7 * (1/3)^3 + ...],

т.е.

p = 2Изображение[1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)^2 - 1/7 * (1/3)^3 + ...]

Частично суммы этого ряда можно вычислять по формуле:

Sn+1 = Sn + (2*корень из 3)/(2n+1) * (-1/3)^n,

при этом "пи" будет ограничено двойным неравенством:

S2n < p < S2n+1

Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин. Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение:

p = Изображение + Изображение

Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая - трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь приёмами приближённых вычислений числа p, нашли способ разложения arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские математики дали словесную формулировку правил для разложения в ряды синуса и косинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов.
В современной математике число p - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа p и числа e следующим образом:

e^2 pi = 1, где i = Изображение.

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа p.

P.S: Попробуйте на 3,14 сать на бумажке это число с точностью до 10-го знака
Последний раз редактировалось Сингуляронавт Ср авг 03, 2011 12:22 pm, всего редактировалось 2 раза.

инженер исследователь
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт янв 29, 2010 8:07 pm

Сообщение инженер исследователь » Ср июл 13, 2011 5:14 pm

Приведу довольно удобный способ вычисления числа Pi - способ Матсунаги ,где знак ^ обозначает степень:
Pi/3=1+1^2/(4*6)+(1*3)^2/(4*6*8*10)+(1*3*5)^2/(4*6*8*10*12*14)+... , у этого способа,кроме хорошей сходимости есть ещё ряд хороших качеств , а именно каждый последующий элемент ряда Матсунаги, можно получить из предыдущего умножением на одно целое и делением на другое целое числа.

Аватара пользователя
Сингуляронавт
Сообщения: 1351
Зарегистрирован: Вс мар 02, 2008 11:52 pm

Сообщение Сингуляронавт » Ср авг 03, 2011 12:18 pm

Хороший метод, нало бы программку написать... где одновременно высчитывается число пи разными способами, и сделать из этой программы бенчмарк :)

инженер исследователь
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт янв 29, 2010 8:07 pm

Сообщение инженер исследователь » Сб мар 14, 2015 4:53 pm

Прежде всего поздравляю с Днём числа Пи!
Хочу рассказать по этому поводу одну особенность оценки качества методов вычисления этого числа. На прошлом дне числа Пи,я как-то описал знакомым метод Матсунаги, на что они мне сказали,что существуют более быстрые способы вычисления числа Пи и привели в пример алгоритм Брента — Саламина, но в нём ,как я понял,крылась неприятность- каждая итерация требовала нахождения корня квадратного, который сам оказывался иррациональным числом, следовательно внутри каждой итерации, требовалось произвести серию внутренних итераций, что во-первых снижает скорость вычислений ,а во-вторых точность нахождения корня квадратного, лимитирует точность нахождения самого числа Пи.
Аналогичным недостатком страдает и Алгоритм Лю Хуэя нахождения числа Пи,через нахождение периметров вписанного в окружность или описанного вокруг неё многоугольников- здесь требуется искать вложенные корни.
В методе Матсунаги, число Пи , представлено,как сумма дробей-рациональных чисел,что приводит к тому,что число действий в каждой итерации минимально, что делает его более удобным и быстрым, чем другие более быстро сходящиеся методы!

инженер исследователь
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт янв 29, 2010 8:07 pm

Сообщение инженер исследователь » Вс май 24, 2015 4:56 pm

Сриниваса Рамануджан Айенгор нашёл немало приближений для числа Пи, скажем он исследовал значения Exp(Pi*sqrt(n)),где n-целое число, величины ,которых сами близки к целым числам, скажем он обнаружил, что Exp(Pi*sqrt(163))= 262537412640768743,999999999999250072, следовательно Pi=ln(262537412640768744)/sqrt(163)- даёт ошибку в двадцатом знаке после запятой, я простым методом перебора нашёл более интересную формулу: exp(5*Pi)=6635624 или ln(6635624)/5=Pi-даёт ошибку в десятом знаке после запятой при вычислении Пи! Нигма-калькулятор вообще дал ответ:ln(6635624)/(5*Pi)=1

инженер исследователь
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт янв 29, 2010 8:07 pm

Re: История числа "пи" - P

Сообщение инженер исследователь » Сб мар 05, 2016 2:53 pm

Хочу привести несколько приближённых формул для нахождения числа Пи
Pi=(2143/22)^(1/4) - с точностью до девятого знака после запятой, это приближение нашёл Сриниваса Рамануджан Айенгор
Pi=2017*2^(1/5)/737.5 - с точностью до одиннадцатого знака после запятой
Pi=97^(272/1087) -с точностью до девятого знака после запятой
Pi=ln(31.8*ln(2)+ln(3))-с точностью до десятого знака после запятой

Ответить